数据库的关系与关系代数

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参考

关系数据结构

候选码: 能够唯一标识一条记录的最小属性集. 若关系中的一个属性或属性组的值能够唯一地标识一个元组, 且他的真子集不能唯一的标识一个元组, 则称这个属性或属性组做候选码.

主码: 主码指主关键字. 主关键字(Primary key)是表中的一个或多个字段, 它的值用于唯一地标识表中的某一条记录. 在两个表的关系中, 主关键字用来在一个表中引用来自于另一个表中的特定记录. 主关键字是一种唯一关键字, 表定义的一部分. 一个表的主键可以由多个关键字共同组成, 并且主关键字的列不能包含空值.

全码: 关系模型的所有属性组组成该关系模式的候选码, 称为全码.

外码: 若关系中的某个属性是其他关系中的主码, 则这个属性称为外码.

主属性: 包含在任一候选码中的属性称主属性.

非主属性: 不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性(Non-Prime attribute)或非码属性(Non-key attribute)

注意

主码是唯一标识, 候选码是可以作为主码的码, 主码一定是候选码的子集, 但候选码不一定是主码.

关系模式: 关系模式（Relation Schema）是对关系的描述,它可以形式化地表示为: $R(U, D, dom, F)$ . 其中 $R$ 为关系名, $U$ 为组成该关系的属性名集合, $D$ 为属性组 $U$ 中属性所来自的域, $dom$ 为属性向域的映象集合, $F$ 为属性间数据的依赖关系集合.

通常简记为: $R(U)$ 或 $R(A_1, A_2, \dots, A_n)$ , 其中 $R$ 为关系名, $U$ 为属性名集合, $A_1, A_2, \dots, A_n$ 为各属性名.

关系数据库: 在一个给定的应用领域中, 所有关系的集合构成一个关系数据库

关系数据模型

关系完整性约束

关系模型中有三类完整性约束, 分别是: 实体完整性, 参照完整性, 用户定义完整性.

实体完整性

定义: 实体完整性是用于保证关系数据库中每个元组都是可区分的, 唯一的.

提示

若属性 $A$ 是基本关系 $R$ 的主属性, 则 $A$ 不能取空值 $\mathrm{NULL}$ .

参照完整性

参照完整性约束就是定义外码和主码之间的引用规则, 是对关系间引用数据的一种限制.

若属性（属性组） $X$ 是基本关系 $R$ 的外码, 它与基本关系 $S$ 的主码 $Y$ 对应, 那么 $R$ 中每个元组在 $X$ 上的值要么取 $\mathrm{NULL}$ , 要么等于 $S$ 中对应元组的主码值. $R$ 和 $S$ 可以是不同的关系, 也可以是同一关系.

为什么可以是同一关系?

(这里是施工现场, 我正在填坑了, 您先等等, 别着急......ToT)

用户定义完整性

此约束是针对某一应用环境的完整性约束条件, 反映了某一具体应用所涉及的数据应满足的要求. 关系模型提供定义和检验的机制, 此类规则一般在建立数据库表的同时进行定义, 如果某些条件未建立在库表一级, 则应在各个模块的具体编程中通过程序进行检查和控制.

关系操作

数据库的关系操作如下:

查询: 选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积.
数据更新: 插入、删除、修改.

其中选择、投影、并、差、笛卡尔积是五种基本操作.

关系运算符

符号	含义	符号	含义	符号	含义
$\times$	笛卡尔积	$\div$	除	$⟖$	右外连接
$\cup$	并	$\prod$	投影	$⟗$	全外连接
$\cap$	交	$\sigma$	选择	$\ltimes$	左半连接
$-$	差	$\rho$	重命名	$\rtimes$	右半连接
$\bowtie$	连接	$⟕$	左外连接	$\triangleright$	反连接/反半连接

大多运算我们都很熟悉, 在此不作赘述. 我们特别地讲解投影, 除, 选择, 连接和重命名.

选择:

在关系 $R$ 中选择满足给定条件的元组:

\sigma_C(R) = \{ t | t\in R \wedge C(t)=\mathrm{true} \}

其中 $C$ 是一个逻辑表达式, 表示选择条件, 基本形式是: $X\theta Y$ . 这里的 $\theta$ 表示比较关系.

投影:

从 $R$ 中选择出若干属性列组成新的关系:

\Pi_L(R)= \{ t[L] | t \in R \}

其中, $L$ 为 $R$ 中的属性(属性组).

重命名:

重命名关系或属性:

\rho_{S(A_1, A_2, \dots, A_n)}(R)

将关系R重命名为S, 属性依次重命名为 $A_1, A_2, \dots, A_n$ .

元组连接:

若存在 $m$ 目关系 $R$ 和 $n$ 目关系 $S$ , 有 $t_r\in R$ , $t_s\in S$ , 则我们有 $m+n$ 列的元组 $\widehat{t_rt_s}$ , 其中前 $m$ 个属性为关系 $R$ 中的属性, 后 $n$ 个属性为关系 $S$ 中的属性.

提示

笛卡尔积可以用连接写成如下形式:

R\times S = \{ \widehat{t_rt_s} | t_r \in R \wedge t_s \in S \}

条件连接:

从两个(或多个)关系的笛卡尔积中选取属性间满足指定条件的元组:

R \bowtie_{A\theta B} S = \{ \widehat{t_rt_s} | t_r\in R, t_s\in S, t_r[A]\theta t_s[B] \}

其中 $\theta$ 表示比较关系.

特别地, 当 $\theta$ 是 $=$ 时, 这样的连接叫作等值连接.

R \bowtie_{A=B} S = \{ \widehat{t_rt_s} | t_r\in R, t_s\in S, t_r[A] = t_s[B] \}

等值连接中还有特殊的连接叫作自然连接. 自然连接是: 默认进行比较的分量是两个关系中相同的属性组, 并且在查询结果中去掉重复的属性列的等值连接.

R \bowtie S = \{ t \cup s : t \in R, s \in S, f (t \cup s) \}

其中 $f(r)$ 是对于二元关系 $r$ 为真的谓词, 当且仅当 $r$ 是函数二元关系.

提示

请多注意等值连接和自然连接两个定义式之间的区别, 去掉重复的属性列是体现在 $t_r[B] = t_s[B]$ 上的.

外连接:

左外连接: 结果集包括R的所有行, 而不仅仅是连接列所匹配的行. 如果R的某行在S中没有匹配行, 则在相关联的结果集行中右表的所有选择列表列均为空值, 记为 $R⟕S$ .
形式化定义为:
右外连接: 结果集包括S的所有行, 而不仅仅是连接列所匹配的行. 如果S的某行在R中没有匹配行, 则在相关联的结果集行中左表的所有选择列表列均为空值, 记为 $R⟖S$

课外知识

与外连接相像的连接是半连接, 半连接也分左半连接和右半连接.

左半连接的形式化定义如下:

R \ltimes S = \{ t | t \in R, s \in S, f (t \cup s) \}

其中 $f(r)$ 是对于二元关系 $r$ 为真的谓词, 当且仅当 $r$ 是函数二元关系.

同理, 右半连接的形式化定义为:

R \rtimes S = \{ s | t \in R, s \in S, f (t \cup s) \}

其中 $f(r)$ 是对于二元关系 $r$ 为真的谓词, 当且仅当 $r$ 是函数二元关系.

相应地, 我们还有反连接的概念, 形式化定义如下:

R \triangleright S = \{ t | t \in R \land \neg \exists s \in S : f (t \cup s) \}

另外, 反连接还可以定义为半连接的补集, 形式化定义如下:

R \triangleright S = R - R \ltimes S

为此反连接有时叫做反半连接.

除运算:

形式化定义为:

R ÷ S = \bigg\{ t[a_1,\dots,a_n] \Big| t \in R \wedge \forall s \in S \Big( (t[a_1,\dots,a_n] \cup s) \in R\Big) \bigg\}

这里的 ${a_1,\dots,a_n}$ 是唯一于R的属性名字的集合, $t[a_1,\dots,a_n]$ 是 $t$ 到这个集合的限制(投影).

理解有困难?

应该注意到, 这里的 $t$ 和 $s$ 都是被视作集合的, 因此进行运算 $t[a_1,\dots,a_n] \cup s$ 后得到的是合并两个行后得到的新行, 如果这个新行仍然属于关系 $R$ , 而且这一运算对每一行 $s$ 都能成立的话, 这个行的投影 $t[a_1,\dots,a_n]$ 是集合 $R\div S$ 的一个元素.

关于元组与行的含义, 在StackOverflowopen in new window上可以看到相关描述:

However, a row is not a tuple. Tuples are unordered sets of known values with names.
A row is an ordered set of known or unknown values with names (although they may be omitted).

而且相关的说法我们也能在Wikiopen in new window上找到.

因此, 我们应该明白, 元组是无序集合, 而具体的行则是有序集合.

扩展的关系代数操作符

去重操作符: $\delta(\cdot)$ 用于去除关系中重复的元组.

排序操作符: $\tau_L(\cdot)$ 用于给关系进行关于属性(属性组) $L$ 的排序.

分组操作符: $\gamma_L(\cdot)$ 用户将关系按照属性(属性组) $L$ 的值进行分组, 针对每一个分组产生新的元组.

聚集操作符: 多数数据库包括五个聚集函数, 这些运算是Sum、Count、Average、Maximum和Minimum.

关于SQL聚集函数要注意的语法问题

当SQL查询使用分组的时候, 需要保证出现在select语句中但没有被聚集的属性只能是出现在group by子句中的那些属性, 任何没有出现在group by子句中的属性如果出现在select子句中的话, 它只能出现在聚集函数的内部, 否则这样的查询就是错误的.
任何出现在having子句中, 但没有被聚集的属性必须出现在group by子句中, 否则查询就被当成是错误的.

提示

包含聚集、group by或者having子句(分组过滤子句)的查询的含义可通过下述操作序列定义:

根据from子句计算出一个关系.
如果出现where子句, where子句的谓词将应用到from子句的结果上.
如果出现group by子句, 满足where子句的元组通过group by子句形成分组. 如果没有group by子句, 满足where谓词的整个元组集被当做一个分组.
如果出现having子句, 他将应用到每个分组上；不满足having子句谓词的分组将被抛弃.
select子句利用剩下的分组产生出查询结果中的元组, 即每个分组上应用聚集函数来得到单个关系元组.

顺便谈一个新手都容易犯的错误:

select S from SC where Score < 60 and count(*) > 2 group by S;

起初我非常不理解这样为什么会行不通, 后来才知道, 这是因为where子句是对每一个元组进行条件过滤, 而聚集函数则是对一个分组(集合)进行条件过滤, 用途和针对的对象类型不一样, 故聚集函数不应出现在这里.

having子句与where子句表达条件的区别

对每一元组检查满足与否的条件要用where子句表达.
对每一分组检查满足与否的条件要用having子句表达.
having子句需要Group by子句支持, 没有Group by子句的话就不能使用having子句.

数据库的关系与关系代数

# 关系数据结构

# 关系数据模型

# 关系完整性约束

# 实体完整性

# 参照完整性

# 用户定义完整性

# 关系操作

# 扩展的关系代数操作符

# 关于SQL聚集函数要注意的语法问题

关系数据结构

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用户定义完整性

关系操作

扩展的关系代数操作符

关于SQL聚集函数要注意的语法问题